Samenspel loont

Op de site van Jonathan Koehler stond een simuleerbaar en elementair voorbeeld van een winststrategie.

De spelregels zijn als volgt.
Drie spelers (A, B en C) zetten elk een Euro in de pot en gokken (random) op het stijgen/dalen van de AEX index aan het eind van de dag. Stijgen is 1, dalen is 0, beide met kans ½. Wie goed gokt (gokken) krijgt (krijgen) de pot. Uiteraard is dit spel neutraal (d.w.z. alle drie de spelers hebben dezelfde winstverwachting: nul) zolang het gokken onafhankelijk en random geschiedt. Maar nu komt het. Zodra twee spelers (in deze simulatie zijn dat de spelers B en C) onderlinge afspraken maken verandert de zaak. Stel dat C consequent het tegengestelde kiest van B. Dus als B 1 kiest, kiest C 0 en omgekeerd.
In dat geval komt A sterk in het nadeel. De winstkansen voor het samenspannende stel stijgen dramatisch! Stel even dat de stituatie "1" duidt op "goed gegokt" en "0" op "fout gegokt" dan zijn de uitkeringen als volgt:

en de verwachte opbrengst is
½*0 + ½*1½ = ¾ voor A en (dus) 3 - ¾ = 2¼ voor B en C gezamenlijk. Voor de winst moet je de inzet (1 Euro) hiervan nog aftrekken.
Na bijvoorbeeld 8000 spellen verwachten wij dus 2000 Euro verlies voor A en 1000 Euro winst voor B en voor C. Samenwerking loont dus, en niet zo'n beetje ook!

Wanneer er vier spelers bezig zijn (A, B, C en D) waarvan weer twee (C en D) onderling samenspannen, is de winstverwachting voor de samenzweerders nog gunstiger, namelijk 1/6.

Bij een gokspel met n spelers is de winstverwachting voor de samenspanners n[1-2^(1-n)]-1 met een maximum bij n=5.

Uit de volgende plaatjes blijkt in hoeverre simulaties deze berekeningen kunnen ondersteunen.