<<<

S51. STOKIN2.83P

>>>

Een stok wordt in tweeën gebroken. Wat is de verwachtingswaarde van het quotiënt kleinste stuk / grootste stuk? Hiervoor is een zevenregelig programmaatje voldoende.

De verwachtingswaarde ligt in de buurt van de 0,39. Toelichting, zie het kanseenheidsvierkant hiernaast: Stel de lengte van de stok is 1 en de twee stukken hebben een lengte X en 1-X.

Voor 0 < x < ½ moet de oppervlakte berekend worden;
voor ½ <x< 1 krijg je een andere integraal, echter met dezelfde oppervlakte:
De totale oppervlakte, en daarmee de verwachtingswaarde van het quotiënt kleinste / grootste , wordt dus:


Een aardige, simpele oplossing dus.
Maar wiskundigen weten bij iedere aardige oplossing wel weer een nieuw probleem te bedenken.
Ik citeer uit The Mathematics of Oz, Mental Gynastics from Beyond the Edge van Clifford Pickover (Cambridge U.P., 2002):

The Bone Man Problem
Dorothy and Dr. Oz peer into a deep hole in the ground. The bone man comes closer and opens and closes his mouth spasmodically. "In the pit", he says, "are 10 000 leg bones. I have cracked each bone at random into two pieces by throwing them against a rock. What do you think is the average ratio of the length of the long piece to the length of the short piece for each time I crack a bone? You can reason from a purely theoretical standpoint. If you cannot find the solution within two days, I will add your leg bone to the pit."

Let op de subtiele omkering van het quotiënt. In het geval kleinste/grootste hebben extreem kleine stukjes vrijwel geen invloed op het gemiddelde quotiënt (die staan namelijk in de teller). Maar in het probleem van de Bone Man is de breuk omgekeerd en hebben extreem kleine stukjes (in de noemer) een extreem grote invloed op de waarde van de breuk! En dan hebben we een echt probleem. Te groot voor dit kader.